Análise Harmônica

Fundamentos da Análise Harmônica

Diferente da análise modal, a análise harmônica estuda a resposta da estrutura sob uma excitação externa senoidal contínua, como o carregamento provocado por máquinas rotativas desbalanceadas.

1. Amortecimento Proporcional (Rayleigh)

Para evitar que a resposta em ressonância tenda ao infinito, introduz-se a matriz de amortecimento \([C]\). O modelo de Rayleigh assume que o amortecimento é uma combinação linear da massa e da rigidez:

\[[C] = \alpha[M] + \beta[K]\]

Os coeficientes \(\alpha\) e \(\beta\) são determinados a partir de uma taxa de amortecimento crítico \(\zeta\) (geralmente \(2\%\) para estruturas de aço) aplicada a duas frequências de interesse (\(\omega_1\) e \(\omega_2\)):

\[\zeta = \frac{\alpha}{2\omega_i} + \frac{\beta\omega_i}{2}\]

2. Solução no Domínio da Frequência

Ao aplicar uma força harmônica \(\{F\}e^{i\Omega t}\), a resposta permanente da estrutura \(\{U\}e^{i(\Omega t - \theta)}\) é obtida resolvendo o sistema linear complexo para cada frequência de excitação \(\Omega\):

\[([K] - \Omega^2[M] + i\Omega[C])\{U\} = \{F\}\]

A expressão entre parênteses é a Matriz de Impedância Dinâmica \([H(\Omega)]\). A solução \(\{U\}\) é um vetor complexo que contém tanto a amplitude quanto a fase do deslocamento.

3. Representação em Decibéis (dB)

Para facilitar a análise de picos de ressonância em diferentes ordens de magnitude, os resultados são convertidos para a escala logarítmica:

\[L_{dB} = 20 \log_{10}\left(\frac{A}{A_{ref}}\right)\]

Onde \(A\) é a amplitude calculada e \(A_{ref}\) é a amplitude de referência (definida como \(1\text{ mm}\) no projeto).