Elemento de treliça
Fundamentação Teórica: Elemento de Treliça
O elemento de treliça é caracterizado por ser uma barra que suporta apenas forças axiais (tração e compressão), não sofrendo deformações por flexão.
Paralelo entre Formulações: 1D, 2D e 3D
Em sala de aula, frequentemente inicia-se com a formulação de barra 1D ou treliça 2D. A transição para o espaço tridimensional exige uma generalização dos Graus de Liberdade (GDL) e das transformações de coordenadas.
| Característica | 1D (Barra Axial) | 2D (Treliça no Plano) | 3D (Treliça Espacial) |
|---|---|---|---|
| GDLs por Nó | 1 (\(u\)) | 2 (\(u, v\)) | 3 (\(u, v, w\)) |
| Orientação | Alinhada ao eixo \(x\) | Ângulo \(\beta\) | Cossenos Diretores (\(C_x, C_y, C_z\)) |
| Transformação | Identidade | Matriz de Rotação \(2 \times 2\) | Vetor Unitário \(\mathbf{v}\) |
No modelo 3D implementado na classe TrussElement, cada nó possui 3 graus de liberdade transicionais, totalizando 6 GDLs por elemento. Enquanto no 2D a orientação é definida por um único ângulo \(\beta\), no 3D utilizamos o vetor unitário de direção \(\mathbf{v}\) obtido pela normalização das coordenadas espaciais:
$\(\mathbf{v} = \frac{1}{L} \begin{bmatrix} x_j - x_i \\ y_j - y_i \\ z_j - z_i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_x \\ C_y \\ C_z \end{bmatrix}\)$
Funções de Forma
As funções de forma (\(N\)) são fundamentais para interpolar os deslocamentos dentro do elemento a partir dos valores nos nós. Para o elemento de treliça, utilizamos funções lineares em coordenadas naturais normalizadas (\(\xi \in [-1, 1]\)):
- Nó 1 (\(\xi = -1\)): \(N_1(\xi) = \frac{1}{2}(1 - \xi)\)
- Nó 2 (\(\xi = 1\)): \(N_2(\xi) = \frac{1}{2}(1 + \xi)\)
Essas funções garantem a continuidade do campo de deslocamentos e satisfazem a propriedade da partição da unidade (\(\sum N_i = 1\)).
A Matriz de Rigidez Local e a Equivalência de Rotação
A matriz de rigidez elementar no sistema de coordenadas local (1D) é derivada da energia potencial de deformação e resulta em:
$$[K_{local}] = \frac{EA}{L} \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 \end{bmatrix} $$
Da Rotação Matricial aos Cossenos DiretoresEm implementações bidimensionais tradicionais, a transição para o sistema global é feita através de uma matriz de rotação \([\tau]\) baseada em um ângulo \(\beta\):
$\([\bar{K}_e] = [\tau]^T [K_{local}] [\tau]\)$
No espaço 3D, em vez de ângulos, utilizamos o vetor unitário de direção \(\mathbf{v}\) (cossenos diretores), definido pelas coordenadas dos nós \(i\) e \(j\) e pelo comprimento \(L\):
A Equivalência Matemática:
A operação de rotação matricial para um elemento de treliça é matematicamente equivalente ao produto externo do vetor de cossenos diretores. Isso ocorre porque a rigidez da treliça existe apenas na direção axial. Ao calcular a matriz \(\Lambda = \mathbf{v} \mathbf{v}^T\), estamos projetando a rigidez escalar \(\frac{EA}{L}\) simultaneamente nas direções \(x\), \(y\) e \(z\):
Desta forma, a matriz de rigidez global do elemento (\(6 \times 6\)) é montada diretamente como:
Restrição da Formulação: Apenas Elementos 1D
É fundamental destacar que esta simplificação — utilizar apenas o vetor de cossenos diretores e o produto externo para a montagem global — só é válida para elementos unidimensionais (barras e treliças).
Isso ocorre porque, nestes elementos, as propriedades físicas (rigidez e massa) estão concentradas exclusivamente ao longo de um único eixo de referência. Em elementos de viga (beam), por exemplo, existem propriedades de inércia à flexão e torção que dependem da orientação da seção transversal em relação a outros eixos, exigindo uma matriz de rotação completa para descrever o comportamento espacial.
Matriz de Massa Consistente (\(\mathbf{M}_e\))
Diferente da matriz de massa concentrada (lumped), a matriz de massa consistente considera a distribuição contínua da massa ao longo do elemento através da integração do campo de deslocamentos:
Resolvendo a integral em coordenadas naturais, obtemos a expressão para o elemento 1D: $\([M_{e, 1D}] = \frac{\rho AL}{6} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)$
Na implementação 3D, para manter a consistência com os 3 GDLs por nó, cada termo da matriz acima é multiplicado por uma matriz identidade \(\mathbf{I}_3\), distribuindo a inércia igualmente nas três direções espaciais: $\(\mathbf{M}_e = \frac{\rho AL}{6} \begin{bmatrix} 2\mathbf{I}_3 & \mathbf{I}_3 \\ \mathbf{I}_3 & 2\mathbf{I}_3 \end{bmatrix}\)$
Montagem do Sistema (Assembly)
O processo de montagem consiste em somar as contribuições de cada elemento nas posições corretas das matrizes globais da estrutura. No código, isso é realizado mapeando os GDLs locais do elemento (self.dofs) para os índices globais através de uma matriz de conectividade implícita.
Após a montagem, aplicam-se as condições de contorno (como engastes onde \(u=0\)) removendo as linhas e colunas correspondentes dos GDLs restringidos para possibilitar a solução do sistema.