Análise Modal

Fundamentos da Análise Modal

A análise modal é o estudo das propriedades dinâmicas de uma estrutura em vibração livre. Ela permite identificar as frequências naturais e os modos de vibrar, que são características intrínsecas da geometria e dos materiais da treliça.

1. A Equação de Movimento

Para um sistema discretizado via MEF com \(n\) graus de liberdade, a equação de movimento para vibração livre e sem amortecimento é dada por:

\[[M]\{\ddot{U}\} + [K]\{U\} = \{0\}\]

Onde:

• \([M]\) é a matriz de massa global.
• \([K]\) é a matriz de rigidez global.
• \(\{U\}\) é o vetor de deslocamentos nodais.

2. O Problema de Autovalor Generalizado

Assumindo que a estrutura vibra de forma harmônica simples, a solução pode ser escrita como \(\{U\} = \{\phi\}e^{i\omega t}\). Ao substituir essa solução na equação de movimento, obtemos o problema de autovalor:

\[([K] - \omega^2[M])\{\phi\} = \{0\}\]

• Autovalores (\(\lambda = \omega^2\)): Fornecem as frequências circulares naturais. A frequência em Hertz é calculada como \(f = \frac{\omega}{2\pi}\).
• Autovetores (\(\{\phi\}\)): Representam as Formas Modais. Eles definem a configuração geométrica relativa da estrutura em cada frequência de ressonância.

3. Implementação Numérica

No solver desenvolvido, utilizamos o algoritmo de Lanczos via scipy.sparse.linalg.eigsh. Este método é eficiente para matrizes esparsas e permite extrair apenas os primeiros \(k\) modos de vibração, que são os mais relevantes para o comportamento estrutural global.